谷歌浏览器下载任务自动关闭，可通过以下方法保持其运行状态：
1. 开启后台运行功能：点击浏览器右上角的三个点，选择“设置”，在设置页面中，找到“系统”选项并点击。在“系统”设置中，找到“继续运行后台应用程序”选项，将其设置为“开”。这样即使关闭浏览器窗口，下载任务也会在后台继续运行。
2. 安装下载管理工具扩展程序：打开Chrome浏览器，进入扩展程序商店，搜索并安装可靠的下载管理工具扩展程序，如“Download Manager”等。安装完成后，在扩展程序中添加下载任务，这些扩展程序通常具有更强大的下载管理功能，可更好地保持下载任务的运行状态。
3. 检查电源和睡眠设置：确保电脑的电源设置不会因节能模式而关闭下载任务。在Windows系统中，可进入“控制面板”，选择“电源选项”，点击“更改计划设置”，将“使计算机进入睡眠状态”和“关闭显示器”的时间设置为“从不”。在Mac系统中，可进入“系统偏好设置”，选择“节能器”，将“显示器待机”和“电脑待机”的时间设置为较长时间或“永不”。
4. 以管理员身份运行浏览器：右键点击谷歌浏览器的快捷方式，选择“属性”，在“快捷方式”选项卡中，点击“高级”按钮，勾选“以管理员身份运行”，然后点击“确定”。重新打开浏览器进行下载，以管理员权限运行浏览器可能会解决一些因权限问题导致的下载任务自动关闭情况。
5. 禁用可能导致冲突的插件：部分浏览器插件可能与下载功能产生冲突，导致下载任务自动关闭。可尝试禁用一些不必要的插件，具体操作是：点击浏览器右上角的三个点，选择“更多工具”，再点击“扩展程序”，在扩展程序页面中，逐个禁用插件，然后重新进行下载任务，看是否能够保持运行状态。